АНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД РОЗРАХУНКУ ФУНКЦІОНАЛЬНО-ГРАДІЄНТНИХ БАЛОК, ЩО ОПИРАЮТЬСЯ НА ПРУЖНУ ОСНОВУ ВІНКЛЕРА
DOI:
https://doi.org/10.31650/2786-6696-2025-13-99-108Ключові слова:
функціонально-градієнтна балка, пружна основа, точний розв’язок, аналітичний метод.Анотація
В даній публікації розглядаються так звані функціонально градієнтні балки (ФГБ) з властивостями матеріалу, що змінюються уздовж довжини з певним градієнтом. Робота присвячена розробці аналітичного методу розрахунку на згин вказаних балок, що опираються на однорідну суцільну пружну основу Вінклера. Модуль пружності матеріалу та навантаження вважаються довільними змінними неперервними функціями, що залежать від координати серединної осі балки. В основі розробленого авторського методу (АМ) лежить точний розв’язок відповідного звичайного неоднорідного диференціального рівняння згину четвертого порядку зі змінними коефіцієнтами. Невідомі константи інтегрування тут виражені через початкові параметри, які знаходяться після реалізації заданих граничних умов. Фундаментальні функції та частинний розв’язок диференціального рівняння представляються у вигляді рядів по степеням безрозмірного параметру зі змінними коефіцієнтами, які визначаються за допомогою рекурентних інтегральних співвідношень. Для зручності практичного застосування фундаментальні функції та частинний розв’язок рівняння трансформуються до формату степеневих рядів. Тим самим, розрахунок ФГБ на згин зводиться до процедури чисельної реалізації явних аналітичних формул для параметрів напружено-деформованого стану.
На прикладі продемонстровано практичне застосування АМ. Розглянуто призматичну ФГБ, модуль пружності якої змінюється за параболічним законом. Результати розрахунку АМ представлені в чисельному та графічному форматах для випадку, коли лівий кінець балки шарнірно опертий, а правий затиснутий. Отримані чисельні значення трактуються як точні, оскільки розрахунок ґрунтується на точному розв’язку відповідного диференціального рівняння. Наявність такого методу дозволятиме оцінювати точність розв’язків, отриманих за допомогою різного роду наближених методів. З метою верифікації розрахунків АМ, надані також відповідні розв’язки, які отримані методом скінченних елементів (МСЕ) в ПК ЛІРА-САПР. Порівняння свідчить про валідність АМ.
Посилання
1. Calim, F.F. Transient analysis of axially functionally graded Timoshenko beams with variable cross-section. Composites Part B: Engineering. 2016. 98. 472–483. URL: https://doi.org/10.1016/j.compositesb.2016.05.040
2. Shafiei, N., Kazemi, M., & Ghadiri, M. Nonlinear vibration of axially functionally graded tapered microbeams. International Journal of Engineering Science. 2016. 102. 12-26. URL: https://doi.org/10.1016/j.ijengsci.2016.02.007
3. Lee, J.W., & Lee, J.Y. Free vibration analysis of functionally graded Bernoulli-Euler beams using an exact transfer matrix expression. International Journal of Mechanical Sciences. 2017. 122. 1-17. URL: https://doi.org/10.1016/j.ijmecsci.2017.01.011
4. Su, H., Banerjee, J.R., & Cheung, C.W. Dynamic stiffness formulation and free vibration analysis of functionally graded beams. Composite Structures. 2013. 106. 854-862. URL: https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2013.06.029
5. Jing, L.L., Ming, P.J., Zhang, W.P., Fu, L.R., & Cao, Y.P. Static and free vibration analysis of functionally graded beams by combination Timoshenko theory and finite volume method. Composite structures. 2016. 138. 192-213. URL: https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2015.11.027
6. Ait Atmane, H., Tounsi, A., Meftah, S.A., & Belhadj, H.A. Free vibration behavior of exponential functionally graded beams with varying cross-section. Journal of Vibration and Control. 2011. 17(2). 311-318. URL: https://doi.org/10.1177/1077546310370691
7. Cao, D., Wang, B., Hu, W., & Gao, Y. Free vibration of axially functionally graded beam. Mechanics of functionally graded materials and structures. IntechOpen. 2020. URL: https://doi.org/10.5772/intechopen.85835
8. Nguyen, D. K. Large displacement response of tapered cantilever beams made of axially functionally graded material. Composites Part B: Engineering. 2013. 55. 298–305. URL: https://doi.org/10.1016/j.compositesb.2013.06.024
9. Hieu, D.V., Chan, D.Q., & Sedighi, H.M. Nonlinear bending, buckling and vibration of functionally graded nonlocal strain gradient nanobeams resting on an elastic foundation. Journal of Mechanics of Materials and Structures. 2021. 16(3). 327-346. URL: https://doi.org/10.2140/jomms.2021.16.327
10. Liu, H., Huang, Y., & Zhao, Y. A unified numerical approach to the dynamics of beams with longitudinally varying cross-sections, materials, foundations, and loads using Chebyshev spectral approximation. Aerospace. 2023. 10(10). 842. URL: https://doi.org/10.3390/aerospace10100842
11. Ghazwani, M.H. New enriched beam element for static bending analysis of functionally graded porous beams resting on elastic foundations. Mechanics of Solids. 2023. 58(5). 1878-1893. URL: https://doi.org/10.3103/S0025654423600885
12. Kanığ, D., Bab, Y., Kutlu, A., & Omurtag, M. H. Mixed finite element formulation for functionally graded beams resting on elastic foundation using HSDT. In 4th international civil engineering & architecture conference (pp. 2177–2183). Golden Light Publishing. 2025. URL: https://doi.org/10.31462/icearc2025_ce_sme_531
13. Крутій Ю. С. Розробка методу розв’язання задач стійкості і коливань деформівних систем зі змінними неперервними параметрами: дис. д-ра техн. наук: 01.02.04. Луцьк, 2016. 273 с.
14. Krutii, Y., Suriyaninov, M., & Vandynskyi, V. Exact solution of the differential equation of transverse oscillations of the rod taking into account own weight. MATEC Web of Conferences. 2017. 116, 02022. URL: https://doi.org/10.1051/matecconf/201711602022
15. Krutii, Y.S. Construction of a solution of the problem of stability of a bar with arbitrary continuous parameters. Journal of Mathematical Sciences. 2018. 231(5). 665–677. URL: https://doi.org/10.1007/s10958-018-3843-8
16. Krutii, Y., Surianinov, M., Petrash, S., & Yezhov, M. Development of an analytical method for calculating beams on a variable elastic Winkler foundation. IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. 2021. 1162(1). 012009. URL: https://doi.org/10.1088/1757-899x/1162/1/012009
Завантаження
Опубліковано
Номер
Розділ
Ліцензія
Авторське право (c) 2025 СУЧАСНЕ БУДІВНИЦТВО ТА АРХІТЕКТУРА
Ця робота ліцензується відповідно до ліцензії Creative Commons Attribution 4.0 International License.
